UZAYDA VEKTÖRLER DOĞRULAR VE DÜZLEMLER

ANALİTİK UZAY

Bir noktanın veya geometrik şeklin yerini tam olarak belirlemek için kullanılan üç boyutlu uzaya, analitik uzay denir.

analitik düzlem

Analitik uzay, birbirleriyle orjin (veya başlangıç noktası) adı verilen bir noktada kesişen, birbirlerine dik üç koordinat ekseninden oluşur.

Analitik uzayda her noktanın yeri üç sayı tarafından belirlenir. Bu üç sayıya söz konusu noktanın koordinatları adı verilir. Bir noktanın koordinatları yazılırken; noktanın, önce x eksenine, sonra y eksenine ve en sonunda da z eksenine ait koordinatı yazılır. Bu koordinatlara sırasıyla apsis, ordinat ve kod adı verilir.

noktanın koordinatları

İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

A(x0,y0,z0) ve B(x1,y1,z1) noktaları arasındaki uzaklık,

iki nokta arasındaki uzaklık formülü

ile bulunur.

iki nokta arasındaki uzaklık

KÜRE ANALİTİĞİ

Bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktalar kümesine küre denir. Söz konusu nokta, kürenin merkezi, söz konusu eşit uzaklık ise kürenin yarıçapıdır.

Merkezi, (a,b,c) noktası ve yarıçap uzunluğu r olan kürenin denklemi,

küre denklemi

şeklindedir.

kürenin genel denklemi

şeklindeki bir denklemde, delta,

delta

olsun.

-) Eğer delta pozitifse, yukarıdaki denklem bir küre denklemidir ve bu formdaki bir denkleme kürenin genel denklemi adı verilir. Bu kürenin yarıçapı,

kürenin yarıçapı

uzunluğundadır. Bu kürenin merkezi ise,

kürenin merkezi

noktasıdır.

-) Eğer delta sıfırsa, denklem, bir nokta belirtir ve bu nokta,

genel küre denkleminde delta sıfır

noktasıdır.

-) Eğer delta negatifse, denklem, küre belirtmez.

UZAYDA VEKTÖRLER

3 boyutlu analitik uzayda vektörlerde temel kavramlar (doğrultu, yön, konum vektörü, vs.), tıpkı 2 boyutlu analitik düzlemdeki vektörlerde olduğu gibi tanımlanmıştır.

Başlangıç noktası orjin, bitiş noktası (x0,y0,z0) olan vektör, (x0,y0,z0) veya <x0,y0,z0> olarak gösterilir.

uzayda vektör

-) Başlangıç noktası (x0,y0,z0), bitiş noktası (x1,y1,z1) olan vektörün uzunluğu, iki noktanın birbirine uzaklığı formülünden,

vektörün normu

olarak bulunur.

-) e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) ve e3 = (0,0,1) vektörlerine; taban birim vektörler, standart birim vektörler veya baz birim vektörler adı verilir.

-) (x0,y0,z0) ve (x1,y1,z1) gibi verilen iki vektörün toplamı, (x0+x1 , y0+y1 , z0+z1)'dir.

-) r reel sayısı ile (x,y,z) vektörünün çarpımı, r.(x,y,z) = (r.x,r.y,r.z)'dir.

-) (x0,y0,z0) ve (x1,y1,z1) gibi verilen iki vektörde,

paralel vektörler

ise, bu iki vektör paraleldir.

-) u, v, w vektörleri ve x, y reel sayıları için,

lineer kombinasyon

ise, w vektörüne, u ve v vektörlerinin, lineer kombinasyonu veya lineer birleşimi denir.

-) Her vektör, taban birim vektörlerinin lineer kombinasyonu biçiminde yazılabilir. (a,b,c) vektörü,

taban birim vektörleri

şeklinde yazılabilir.

-) u, v ve w, üç vektör olsunlar.

eşitliğini sağlayan, en az biri sıfırdan farklı a, b ve c reel sayıları varsa, u, v ve w vektörlerine lineer bağımlı veya doğrusal bağımlı vektörler denir. Aksi halde u, v ve w vektörlerine lineer bağımsız veya doğrusal bağımsız vektörler denir. Bu tanım üçten fazla vektör için de geçerlidir.

SKALER ÇARPIM

u = (x0,y0,z0) ve v = (x1,y1,z1) vektörlerinin skaler çarpımı, iç çarpımı veya noktasal çarpımı bir reel sayıdır ve aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

skaler çarpım

Skaler çarpım; iki vektörün, uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsünün çarpımıdır. Yani u ve v vektörleri arasındaki açı α olmak üzere,

iki vektör arasındaki açı

eşitliği gerçeklenir. Buradan aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir:

-) Dik vektörlerin skaler çarpımları sıfırdır.

-) İki vektör arasındaki açı, dar açı ise vektörlerin skaler çarpımı pozitiftir.

-) İki vektör arasındaki açı, geniş açı ise vektörlerin skaler çarpımı negatiftir.

-) Paralel ve aynı yönlü iki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin uzunluğunun çarpımıdır.

-) Paralel ve zıt yönlü iki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin uzunluğunun çarpımının negatifidir.

DİK İZDÜŞÜM

u vektörünün, aralarındaki açı α olan v vektörü üzerine dik izdüşümü w vektörü olsun.

dik izdüşüm

Bu durumda dik izdüşüm vektörü,

dik izdüşüm vektörü

formülü ile bulunur.

Dik izdüşüm vektörünün uzunluğu,

dik izdüşüm vektörünün uzunluğu

ile tespit edilir.

Buradan, eğer α açısı; dar açı ise,

dik izdüşüm vektörünün uzunluğu

geniş açı ise,

dik izdüşüm vektörünün uzunluğu

bulunur.

UZAYDA DOĞRU ANALİTİĞİ

DOĞRULTMAN VEKTÖR

Uzayda verilen bir doğruya paralel olan vektöre, doğrunun doğrultman vektörü denir.

BİR NOKTASI VE BİR DOĞRULTMAN VEKTÖRÜ BİLİNEN DOĞRU DENKLEMİ

(x0,y0,z0) noktasından geçen ve (a,b,c) vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemi,

kartezyen denklem

şeklindedir.

(x0,y0,z0) noktasından geçen ve (a,b,c) vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi,

parametrik denklem

şeklindedir.

İKİ NOKTASI BİLİNEN DOĞRU DENKLEMİ

(x0,y0,z0) ve (x1,y1,z1) noktalarından geçen doğrunun denklemi,

iki noktası verilen doğru denklemi

şeklindedir.

İKİ DOĞRU ARASINDAKİ AÇI

Kartezyen denklemleri,

doğrunun kartezyen denklemi

ve,

doğrunun kartezyen denklemi

şeklinde verilen iki doğrunun arasındaki açı α'nın kosinüsü,

ile bulunur.

Eğer bu değer, pozitif ise, doğrular arasındaki dar açı; negatif ise, doğrular arasındaki geniş açı elde edilir.

Eğer,

doğruların dikliği

ise iki doğru birbirine diktir.

Eğer,

doğruların paralelliği

ise iki doğru birbirine paraleldir.

DÜZLEM ANALİTİĞİ

a, b, c ve d reel sayılar olmak üzere, genel düzlem denklemleri,

şeklindedir.

NORMALİ VE BİR NOKTASI BİLİNEN DÜZLEM DENKLEMİ

(x0,y0,z0) noktasından geçen ve (a,b,c) vektörüne dik olan düzlemin denklemi,

normali ve bir noktası verilen düzlem denklemi

şeklindedir.

EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR BİLİNEN DÜZLEM DENKLEMİ

x0, y0 ve z0, sıfırdan farklı olmak üzere; x eksenini x0, y eksenini y0, z eksenini z0 noktasında kesen düzlemin denklemi,

eksenleri kestiği noktalar verilen düzlem denklemi

şeklindedir.

ÜÇ NOKTASI BİLİNEN DÜZLEM DENKLEMİ

Üç noktadan geçen düzlem denklemi, determinant yardımıyla yazılabilir.

(x0,y0,z0), (x1,y1,z1) ve (x2,y2,z2) noktalarından geçen düzlem denklemi,

üç noktadan geçen düzlem denklemi

şeklindedir.

BİR NOKTASI VE PARALEL İKİ VEKTÖRÜ BİLİNEN DÜZLEM DENKLEMİ

Verilen bir noktadan geçen ve verilen iki vektöre paralel olan düzlem denklemi, determinant yardımıyla yazılabilir.

(x0,y0,z0) noktasından geçen ve (a0,b0,c0), (a1,b1,c1) vektörlerine paralel olan düzlem denklemi,

bir noktası ve paralel iki vektörü verilen düzlem denklemi

şeklindedir.

İKİ NOKTASI VE BİR PARALEL DOĞRUSU BİLİNEN DÜZLEM DENKLEMİ

İki noktadan geçen ve bir doğruya paralel olan düzlem denklemi, determinant yardımıyla yazılabilir.

(x0,y0,z0) ve (x1,y1,z1) noktalarından geçen ve kartezyen denklemi,

kartezyen denklem

olan doğruya paralel olan düzlem denklemi,

şeklindedir.

ÖLÇEK AÇI

Kesişen iki düzlem arasındaki açıya ölçek açı denir. Kesişen her iki düzlemin, en fazla, biri dar biri geniş olmak üzere iki ölçek açısı vardır. Ölçek açı düzlem normallerinin birbirleriyle yaptığı açıya eşittir. Dolayısıyla düzlemlerin birbirlerine göre konumu (aralarındaki açı, paralelliği, vs.) hesaplanırken düzlemlerin normallerinden faydalanılır.

DÜZLEM DEMETİ

İki düzlemin arakesitinden geçen bütün düzlemlere, düzlem demeti adı verilir.

düzlem demeti

Denklemleri a0.x+b0.y+c0.z+d0 = 0 ve a1.x+b1.y+c1.z+d1 = 0 şeklindeki iki düzlemin düzlem demetinin denklemi,

düzlem demeti denklemi

şeklindedir.

DOĞRU İLE DÜZLEMİN BİRBİRLERİNE GÖRE KONUMLARI

Doğru ile düzlemin birbirlerine göre konumları hesaplanırken düzlemin normalinden faydalanılır.

Normali (A,B,C) olan Ax+By+Cz+D = 0 düzlemi ile kartezyen denklemi,

doğru ile düzlemin birbirlerine göre konumları

olan doğru verilsin:

-) Kesişen doğru ile düzlem arasındaki açı α'nın sinüsü,

doğru ile düzlem arasındaki açı

ile bulunur.

-) Eğer doğru ile düzlem birbirlerine paralel iseler,

doğru ile düzlemin parallelliği

bağıntısı geçerlidir.

-) Eğer doğru ile düzlem birbirlerine dik iseler,

doğru ile düzlemin dikliği

bağıntısı geçerlidir.

NOKTANIN DÜZLEME UZAKLIĞI

Bir (x0,y0,z0) noktası ile Ax+By+Cz+D = 0 düzlemi arasındaki uzaklık,

nokta ile düzlem arasındaki uzaklık

ile bulunur.

PARALEL DÜZLEMLER ARASINDAKİ UZAKLIK

ax+by+cz+d0 = 0 ve ax+by+cz+d1 = 0 paralel düzlemleri arasındaki uzaklık,

paralel düzlemler arasındaki uzaklık

ile bulunur.

LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ

Bilinmeyenlerin, birinci dereceden olduğu ve çarpım halinde olmadığı denkleme lineer denklem veya doğrusal denklem denir.

En az iki lineer denklemden oluşan denklem sistemine, lineer denklem sistemi veya doğrusal denklem sistemi denir.

Lineer denklem sistemlerinin çözüm yöntemlerinde, yok etme yöntemi ve yerine koyma yönteminden başka yöntemler de vardır. Bunlardan biri Cramer yöntemidir.

CRAMER KURALI

Cramer kuralı, bilinmeyen sayısı ve denklem sayısı eşit olan lineer denklem sistemleri için uygulanır.

lineer denklem sistemi

lineer denklem sistemi göz önüne alınsın. Bu lineer denklem sisteminin katsayılar matrisi,

lineer denklem sisteminin katsayılar matrisi

olsun. Bu matristen; herhangi bir bilinmeyenin katsayıları yerine, lineer denklem sisteminin sabitleri yazılarak elde edilen üç matris, aşağıdaki gibi isimlendirilsin:

cramer matrisleri

Bu durumda:

-) det(Δ) = det(Δx) = det(Δy) = det(Δz) = 0 ise, lineer denklem sisteminin sonsuz çözümü vardır.

-) det(Δ) = 0 ve det(Δx), det(Δy) ve det(Δz)'den en az biri sıfırdan farklı ise, lineer denklem sisteminin çözümü yoktur.

-) det(Δ) sıfırdan farklı ise lineer denklem sisteminin tek çözümü vardır:

lineer denklem sisteminin çözümü

LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN GEOMETRİK ANLAMI

İki bilinmeyenli bir lineer denklem, doğru; üç bilinmeyenli bir lineer denklem ise düzlem belirttiğine göre, iki veya üç bilinmeyenli lineer denklem sistemleri, uzayda, doğruların veya düzlemlerin birbirlerine göre konumları olarak görülebilir.

-) a1x+b1y+c1 = 0 ve a2x+b2y+c2 = 0 şeklinde verilen iki doğru, iki bilinmeyenli bir lineer denklem sistemidir. Bu iki doğrunun kesişimi, bu lineer denklem sisteminin çözümüdür. Bu durumda, eğer:

paralel doğrular

ise doğrular paraleldir, dolayısıyla çözüm yoktur;

kesişen doğrular

ise doğrular tek bir noktada kesişir, dolayısıyla çözüm tektir;

çakışık doğrular

ise doğrular çakışıktır, dolayısıyla sonsuz çözüm vardır.

Bu özellikleri dinamik ve etkileşimli olarak gözlemlemek için bu animasyonu inceleyebilirsiniz.

-) a1x+b1y+c1z+d1 = 0 ve a2x+b2y+c2z+d2 = 0 şeklinde verilen iki düzlem, üç bilinmeyenli bir lineer denklem sistemidir. Bu iki düzlemin kesişimi, bu lineer denklem sisteminin çözümüdür. Bu durumda, eğer:

paralel düzlemler

ise düzlemler paraleldir, dolayısıyla çözüm yoktur;

doğru boyunca kesişen düzlemler

eşitsizliklerinden en az biri sağlanıyorsa düzlemler bir doğru boyunca kesişirler, dolayısıyla sonsuz çözüm vardır;

çakışık düzlemler

ise düzlemler çakışıktır, dolayısıyla sonsuz çözüm vardır.

-) a1x+b1y+c1z+d1 = 0, a2x+b2y+c2z+d2 = 0 ve a3x+b3y+c3z+d3 = 0 şeklinde verilen üç düzlem, üç bilinmeyenli bir lineer denklem sistemidir. Bu üç düzlemin kesişimi, bu lineer denklem sisteminin çözümüdür. Bu takdirde, önce katsayılar matrisinin determinantına bakılır. Eğer determinant sıfırdan farklı ise düzlemler tek bir noktada kesişirler, dolayısıyla çözüm tektir. Eğer determinant, sıfır ise, bu durumda:

paralel düzlemler

paralel düzlemler

koşulları sağlanıyorsa düzlemler paraleldir, dolayısıyla çözüm yoktur;

paralel düzlemler

koşulu sağlanırken,

paralel düzlemleri kesen düzlem

eşitsizliklerinden en az biri sağlanıyorsa, ilk iki düzlem paralel olup, üçüncü düzlemi bir doğru boyunca keserler, dolayısıyla sonsuz çözüm vardır;

çakışık düzlemler

çakışık düzlemler

koşulları sağlanıyorsa düzlemler çakışıktır, dolayısıyla sonsuz çözüm vardır;

kesişen düzlemler

koşullarından en az biri sağlanıyorken, a1x+b1y+c1z+d1+k.(a2x+b2y+c2z+d2) = 0 düzlem demetinin bir elemanı a3x+b3y+c3z+d3 = 0 ise, düzlemler tek bir doğru üzerinde kesişirler, bu durumda sonsuz çözüm vardır.

www.birebir.org

⇐ Bütün konu anlatımları

 

Creative Commons License
This work by www.birebir.org is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License.